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2.4 放射性物質の半減期

放射性物質の半減期は、放射性物質が崩壊して別の元素に変わるときに、 元の放射性物質の半分の量が崩壊するまでの期間のことです。 また、放射線の量は放射性物質の崩壊に従って時間が経つことにより弱まります。 半減期では元のちょうど半分の放射線の量になります。 さらに放射性物質は、別の元素に変わるときに放射線を出すので、半減期が短いものほど短時間に別の元素に変わり、短時間に多くの放射線を出します。 逆に半減期の長いものは放射線を長期にわたって少量ずつゆっくりと放射線を出して別の元素に変わっていきます。

2.4.1 放射性物質の半減期の微分方程式

放射性物質の半減期に関する微分方程式を以下に示します。

   dn 
  -- = -λ * n
  dt

  λ = log 2 / half

n は、時刻 t の原子数です。 halfは、半減期を表します。

2.4.2 ソース

デカルト言語で、放射性物質の減少を計算するプログラムのソースを以下に示します。

/* 放射性物質 半減期 */

? ::sys <PrintResultOff>
  <letf #ni = 1000>     // 初期値
   <letf #half = 8.1>    // ヨウ素半減期 8.1日
//  <letf #half = 30>   // セシウム半減期 30年
   <letf #λ = ::sys <log _ 2> / #half>   // 定数λ

  <letf #w = 0.1>       // 刻み幅
   <letf #interval 10>   // #interval個おきに表示

   <setVar var_n #ni>    // 初期値設定

   <printf "t,">         // tのラベルを印刷
   ::sys <ODE (#t 0 60 #w)         // 0から 180まで#w刻みで繰り返し
        ::sys <ODEprintf #interval #t ",">  // #interval個おきに印刷
   >
  <print>               // 改行


    <printf "n ,">
  ::sys <ODE (#t 0 60 #w) // 0から 180まで#w刻みで繰り返す
        <var_n #n>              // nの値を#nに取り出し

        // dn/dtの微分方程式
        <letf #dndt = - #λ * #n>

    ::sys <integral #n_next #dndt #ni>  // dn/dtをtで積分

        ::sys <ODEprintf #interval #n_next ","> // 結果を#interval個おきに印刷

        <setVar var_n #n_next>  // nの値を保存
   >
  <print>               // 改行
  ;

5行目でヨウ素半減期 8.1日を入れているので、実行すると放射性ヨウ素131の原子数の変化を計算します。

6行目の先頭の注釈//を外して、5行目を代わりに注釈にすると放射性セシウム137(半減期30年)について計算します。

2.4.3 実行結果とグラフ

ソースを"HalflifeNuclear.dec"という名前で保存して実行します。

$ descartes HalflifeNuclear.dec >HalflifeNuclear.csv

実行結果をExcelで読み込んでグラフにしましょう。

まずは放射性ヨウ素131についてです。

最初に1000であった原子数が、500まで半減したときは8.1日になっています。

しかし、1割以下まで減少するには、1ヶ月弱ほど必要なことがグラフからわかります。

次に放射性セシウム137についてです。

原子数が半減したときは、30年になっているのがわかります。

60年経ってもまだ25%も残っているのがグラフ上から読み取れます。 しかし、半減期が長いので別の元素にゆっくりと少量ずつ放射線を出して変わっていきます。