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NOTE

群とベクトル空間

定義
ある集合上の二項演算(binary operation) *とは,順序付きの要素の組(a, b)をある要素に対応させる規則である.
この演算が対応させる要素がその集合に含まれる場合,閉じた(closed)二項演算と呼ばれる.
以降登場する全ての二項演算は閉じている事を仮定する.

定義
群(group)<G, *>とは,二項演算*が以下を満足する集合Gである.
G1. 結合的(associative)な演算:全てのa, b, c ∈ Gに対して(a * b) * c = a * (b * c)が成り立つ.
G2. 単位元(identity element)の存在:全てのa ∈ Gに対してe * a = a * e = aが成り立つ様なe ∈ Gが存在する.
G3. 逆元(inverse)の存在:全てのa ∈ Gに対してa * b = eが成り立つ様なb ∈ Gが存在する.

定義
Gの要素の数が有限である場合,Gを有限群(finite group)と呼ぶ.
有限群Gの要素の数を位数(order)と呼び,|G|で表す.

定義
群<G, *>において,全てのa, b ∈ Gに対してa * b = b * aである時,可換(commutative)であると言う.
可換な群の演算が加算的(additive-like)である時,この群はアーベル群(Abelian group)と呼ばれる.

部分群

定義
群<G, *>の部分群(subgroup)<H, *>とは,Gの部分集合Hが同一の演算*により成す群である.
HがGの部分群である事を,H < Gで表す.
Hが強い意味でGの部分集合である時,即ち,H ⊂ GであるがH = Gでない時,真部分群(proper subgroup)と呼ぶ.
H = {e} ⊂ G,あるいはH = Gである時,HがGの部分群である事は自明である.

巡回群と位数

定義
如何なるa ∈ Gに対しても集合{ an | n ∈ Z}はGの部分群を生成し,これを巡回群(cyclic group) と呼ぶ.
要素aはこの部分群の生成元(generator)と呼ばれる.
aで生成される巡回群を<a>で表す.

定義
群Gにおいて,a ∈ Gに対して an = aとなる最小のnをaの位数(order)と呼ぶ.

剰余類

定義
Hを<G, *>の部分群とする(Gは可換である必要はない).
a ∈ Gに対してa * H = {a * h | h ∈ H}とH * a = {h * a | h ∈ H}をそれぞれHの左剰余類(left coset)と右剰余類(right coset)と呼ぶ.
Gが可換であれば,左剰余類と右剰余類は同一である.

ラグランジュの定理

補題
群Gの全ての剰余類Hは要素の数が同一である.

証明

剰余類についてのまとめ
反射的(reflexive):aが同一の剰余類に含まれるならば,a自身は同一の剰余類に含まれる.
対称的(symmetric):aとbが同一の剰余類に含まれるならば,bとaは同一の剰余類に含まれる.
推移的(transitive):aとbが同一の剰余類に含まれ,かつbとcが同一の剰余類に含まれならば,aとcは同一の剰余類に含まれる.

定義
反射的かつ対称的かつ推移的である様な性質は同値関係(equivalence relation)と呼ばれる.

補題
ある群GのHに対する各々の剰余類は共通部分を持たない(disjoint).

証明

ラグランジュの定理
Gを有限群とし,HをGの部分群とする.
この時,Gの位数はHの位数で割り切れる(divides without remainder).

証明

補題
位数が素数である様な群は巡回的(cyclic)である.

証明

同型写像

定義
写像φ : G1 → G2が一対一の写像(one-to-one function)であるとは,G1の全ての要素a, bに対してφ(a) = φ(b)ならばa = bとなる事である.
これは,a ≠ bなる二つの異なる要素a, b ∈ G1がφでG2の同一の要素に写る事がない事を意味する.
一対一の写像は全射(surjective function)とも呼ばれる.

定義
写像φ : G1 → G2が上への写像(onto function)であるとは,G2の全ての要素gに対してあるG1の要素aが存在してφ(a) = gとなる事である.
これは,G1の要素が写像φによってG2の要素全てに写る事を意味する.
上への写像は単射(injective function)とも呼ばれる.

定義
一対一かつ上への写像は全単射(bijective function)と呼ばれる.
全単射は常に可逆(invertible)である.
φ : G1 → G2が全単射ならば,|G1| = |G2|である.

定義
二つの群<G1, *1>, <G2, *2>が同型(isomorphic)であるとは,φ : G1 → G2なる一対一かつ上への写像が存在する事である.
この写像φを同型写像(isomorphism)と呼ぶ.
これは,全てのa, b ∈ G1に対してφ(a *1 b) = φ(a) *2 φ(b)が成り立つ事を意味する.

定義
<G, *>を群,Hを部分群,S = {H0 = H, H1, H2, ..., Hm}をHの剰余類の集合とする.
S中の剰余類A, Bの間の誘導演算(induced operation)は,全てのa ∈ A, b ∈ Bに対して
「a * b = cの時のみかつその時に限りA * B = C」で問題無く定義出来る(well defined).

定理
Hを可換な群<G, *>の部分群とすれば,Hの剰余類の集合上の誘導演算*は(a * b) * H = (a * H) * (b * H) を満足する.

証明

定義
可換な群Gの部分群Hの剰余類の集合と誘導演算で成される群をHを法(modulo)とするGの因子群(factor group)と呼び,G/Hで表す.
また,この剰余類の集合をHを法とするGの剰余類(residue classes)と呼ぶ.

準同型写像

定義
二つの群<G1, *1>, <G2, *2>が準同型(homomorphic)であるとは,全てのa, b ∈ G1に対してφ(a *1 b) = φ(a) *2 φ(b)が成り立つ様な
φ : G1 → G2なる写像(一対一である必要はない)が存在する事である.
この写像φを準同型写像(homomorphism)と呼ぶ.

定理
<G, *>を可換な群,Hを部分群とすれば,因子群G/Hが作れる.
今,φ : G → G/Hをφ(a) = a * Hで定義すると,φは準同型写像となる.
この準同型写像φは正規準同型写像(canonical homomorphism)と呼ばれる.

証明

定義
G1からG2への準同型写像φの核(kernel)とは,φによりG2の単位元へと写るG1上の全ての要素の集合である.

再訪: 線形代数